Podría objetarse a la afirmación del trivio clásico de que las palabras deben ser primeras en nuestros estudios argumentando que las verdades más altas son las teorías científicas, que estas se enuncian en forma matemática y que, por tanto, las matemáticas son el mayor instrumento de la mente humana para enunciar verdades importantes. Pero, consideradas las cosas con cuidado, es claro que las expresiones matemáticas no tienen significado en sí mismas, salvo en la medida en que ese significado lo da el lenguaje; y las expresiones matemáticas ciertamente no pueden interpretarse a sí mismas. Por ejemplo, una de las leyes de la física puede darse como fórmula, pero la fórmula está incompleta hasta que se nos ha dicho qué significan sus términos: si F es la fuerza, m es la masa y a es la aceleración, entonces la segunda ley del movimiento de Newton, que relaciona la fuerza aplicada, la masa del cuerpo y la aceleración resultante, puede expresarse como F = ma.One might object to the claim of the classical trivium that words must come first in our studies by arguing that the highest truths are scientific theories, that these are stated in mathematical form, and that mathematics is therefore the greatest instrument of the human mind for stating important truths. But on careful consideration it is clear that mathematical expressions do not have meaning in themselves, except in so far as that meaning is given by language; and mathematical expressions certainly cannot interpret themselves. For example, one of the laws of physics may be given as a formula, but the formula is incomplete until we have been told what its terms mean: if F is force, m is mass, and a is acceleration, then Newton’s Second Law of motion, which relates together the force applied, the mass of the body, and its resulting acceleration, can be expressed as F = ma.
Es verdad que una notación como F = ma es cómoda porque es fácil de usar y fácil de manipular. Tales ecuaciones pueden incluso enseñarse a los estudiantes sin exigir que las entiendan plenamente. Pero eso no debe oscurecer el hecho de que una notación es inútil sin la interpretación correcta, y toda interpretación de ese tipo se da, y debe darse, en lenguaje.It is true that a notation such as F = ma is convenient because it is easy to use and easy to manipulate. Such equations can even be taught to students without requiring that they fully understand them. But that should not obscure the fact that a notation is useless without the correct interpretation, and any such interpretation is and must be given in language.
En un aspecto clave, sin embargo, las matemáticas sí tienen más poder expresivo que el lenguaje, y es cuando las matemáticas emplean representaciones simbólicas de cosas como operaciones y funciones o distribuciones de probabilidad. Estas pueden enunciarse en lenguaje, por supuesto, pero el lenguaje puede volverse tan largo y enrevesado que la expresión simbólica alcanza un mayor poder expresivo, y es exactamente por eso por lo que los matemáticos usan tales sistemas simbólicos. Pero esto debería también suscitar preguntas acerca de si, y en qué grado, las expresiones matemáticas que se usan son realmente algo que puede entenderse bien; los matemáticos insisten en que pueden entenderse bien, pero es también verdad que en algunos casos incluso los matemáticos deben atender con cuidado a las interpretaciones y a las expresiones, para asegurarse de que significan lo que se supone que significan y de que nuestro modo de enunciarlas no supone implícitamente cosas para las que no tenemos fundamentos adecuados. Suponiendo que tengamos cuidado en estos aspectos, lo cual implica, aunque no sea más, un cuidado con el lenguaje y el significado, parece entonces que las matemáticas, en su propio ámbito, pueden expresar algunas de sus conclusiones con más eficacia de lo que puede hacerlo el lenguaje sin la ayuda de símbolos.In one key way, however, mathematics does have more expressive power than language, and that is when mathematics employs symbolic representations of things like operations and functions or probability distributions. These can be stated in language, of course, but the language can become so long and convoluted that the symbolic expression achieves greater expressive power, and this is exactly why mathematicians use such symbolic systems. But this also should raise questions about whether and to what degree the mathematical expressions being used are actually something that can be well-understood; mathematicians insist that they can be well-understood, but it is also true that in some cases the interpretations and expressions must be carefully attended to even by mathematicians in order to ensure that they mean what they are supposed to mean and to be sure that our way of stating them does not implicitly assume things for which we do not have adequate grounds. Assuming that we are careful in these regards, which implies a care with language and meaning if nothing else, then it does seem that mathematics in its own proper domain can more effectively express some of its conclusions than language can without the aid of symbols.
Lo mismo vale para las matemáticas en su conjunto. Las definiciones y los resultados fundamentales de las matemáticas se enuncian principalmente en lenguaje, como definiciones y axiomas; e incluso allí donde se enuncian principalmente en símbolos, a los símbolos se les da siempre significado mediante definiciones en lenguaje. Por eso las fórmulas matemáticas pueden siempre leerse en voz alta (y por eso una notación nueva suele ir acompañada de una frase que le dice al lector cómo pronunciarla). Asimismo, los sistemas simbólicos avanzados suelen aprenderse tanto mediante una instrucción dada en una lengua como mediante ejemplos del uso del sistema, y quienes los aprenden a menudo encuentran necesario decirse a sí mismos con palabras lo que significan los símbolos.The same holds for mathematics as a whole. The fundamental definitions and results of mathematics are stated primarily in language, as definitions and axioms; and even where they are stated primarily in symbols, the symbols are always given meaning by definitions in language. This is why mathematical formulas can always be read out loud (and why new notation is usually accompanied by a phrase that tells the reader how to speak the notation). Likewise, advanced symbolic systems are typically learned both through instruction given in a language and through examples of the use of the system, and learners often find it necessary to say to themselves in words what the symbols mean.
Esto es verdad incluso de la parte más general de las matemáticas modernas, la lógica matemática. La lógica matemática se construye sobre un lenguaje formal en el que los términos y las reglas están definidos con precisión; pero esos términos y reglas solo pueden enunciarse y explicarse en una lengua natural, en lo que se llama el metalenguaje del sistema (por lo general, el inglés). Es verdad, sin embargo, que los símbolos formales no reciben su significado solo de las palabras que usamos como glosas para ellos, sino también de los símbolos que los rodean y de los axiomas del sistema. Con todo, el significado y la interpretación de la teoría deben enunciarse en lenguaje. Así pues, incluso los instrumentos más generales y poderosos de las matemáticas deben expresarse y definirse en lenguaje.This is true even of the most general part of modern mathematics, mathematical logic. Mathematical logic is built on a formal language in which terms and rules are precisely defined; but those terms and rules can only be stated and explained in a natural language, in what is called the metalanguage of the system (usually English). It is true, however, that formal symbols do not receive their meaning only from the words we use as glosses for them but also from the surrounding symbols and the axioms of the system. Nevertheless, the meaning and interpretation of the theory must be stated in language. So, even the most general and powerful tools of mathematics must be expressed and defined in language.
El lenguaje, por tanto, es necesario, aunque no sea suficiente, para enunciar las matemáticas y para ordenar el pensamiento matemático. Y, así, el lenguaje es más general y más expresivo que las matemáticas.Language, therefore, is necessary, even if it is not sufficient, for stating mathematics and for ordering mathematical thought. And, thus, language is more general and expressive than mathematics.