Las matemáticas tienen un ámbito más limitado que el lenguaje, ya que el lenguaje puede usarse para considerarlo todo, mientras que las matemáticas se restringen a los aspectos formales o cuantitativos de las cosas. La notación matemática se parece al lenguaje en que sus símbolos suelen tener poca conexión natural con aquello sobre lo que versa una expresión; por ejemplo, en 3 + 4 = 7, los símbolos de los números son convencionales. Pero los símbolos matemáticos tienen una materia clara y determinada, a diferencia del lenguaje, que puede tratar de todo. Así pues, el lenguaje puede describir las matemáticas y el cálculo, pero no a la inversa.Mathematics has a more limited domain than language, since language can be used to consider everything, whereas mathematics is restricted to the formal or quantitative aspects of things. Mathematical notation is like language in that its symbols typically have little natural connection to what an expression is about; for example, in 3 + 4 = 7, the symbols for the numbers are conventional. But mathematical symbols have a clear and determinate subject matter, unlike language, which can treat of everything. So, language can describe mathematics and calculation, but not vice versa.
El lenguaje, los símbolos matemáticos, los diagramas y los dibujos ponen todos nuestro pensamiento en una forma que podemos percibir con los sentidos. Por ejemplo, podemos intentar resolver una ecuación de cabeza y luego darnos cuenta de que necesitamos escribirla o decirla en voz alta, y hacerlo facilita resolverla. Los diagramas y los dibujos pueden, por supuesto, ser muy útiles. Pero incluso los diagramas que hacemos son casi siempre cosas que entendemos por medio del lenguaje, ya que ponemos nombres y etiquetas a sus partes y a menudo describimos con palabras lo que significan las partes. Del mismo modo, cuando un problema matemático no puede resolverse en su formulación dada, siempre podemos enunciar el problema en lenguaje y considerarlo detenidamente en términos más generales. Y en el nivel más profundo de la indagación matemática, siempre es valioso preguntar qué significan realmente las expresiones y los resultados, aunque eso no sea algo que podamos expresar a alguien que no sea ya matemático.Language, mathematical symbols, diagrams, and drawings all put our thought into a form that we can perceive with our senses. For example, we may try to solve an equation in our head and then realize that we need to write it down or say it aloud, and doing so makes it easier to work through. Diagrams and drawings can, of course, be very helpful. But even the diagrams that we make are almost always things that we make sense of with language, since we put names and labels on their parts and often describe in words what the parts mean. In the same way, when a mathematical problem cannot be solved in its given formulation, we can always state the problem in language and consider it at length in more general terms. And at the deepest level of mathematical inquiry, it is always valuable to ask what the expressions and the results really mean, even if that may not be something we can express to someone who is not already a mathematician.
Esto tiene también una implicación importante, y filosófica, para las matemáticas: las matemáticas nunca pueden ser un sistema completo y cerrado, porque se apoyan en palabras y conceptos que están más allá de ellas mismas, es decir, en términos y principios comunes a otras disciplinas.This also has an important and philosophical implication for mathematics: mathematics can never be a complete and closed system, because it relies on words and concepts beyond itself, that is, on terms and principles common to other disciplines.
Nada de esto quita valor a las matemáticas, que son sumamente poderosas para entender el mundo. Lo único que se afirma es que el lenguaje es más general que las matemáticas y que fundamenta el pensamiento matemático. Por eso la tradición clásica, y este curso que la sigue, comienzan por las artes del lenguaje, es decir, por la gramática, la lógica y la retórica, y no por las matemáticas y las representaciones matemáticas.None of this takes away from mathematics, which is extremely powerful for understanding the world. The point is only that language is more general than mathematics and that it grounds mathematical thinking. That is why the classical tradition and this course following it begin with the arts of language, that is, grammar, logic, and rhetoric, rather than with mathematics and mathematical representations.
A continuación pasamos a examinar por qué debemos comenzar por las palabras.Next, we turn to an examination of why we must begin with words.
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